Упр.4.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ медиана $$BD$$ равна половине стороны $$AC$$. Найдите угол $$B$$ треугольника.

Так как $$BD$$ — медиана, то $$AD=DC=\frac12 AC.$$ По условию $$BD=\frac12 AC,$$ значит

$$AD=DC=BD.$$

Следовательно, треугольник $$ABD$$ равнобедренный, поэтому $$\angle DAB=\angle ABD.$$

Аналогично треугольник $$BCD$$ равнобедренный, значит $$\angle DBC=\angle BCD.$$

Обозначим $$\angle BDA=x.$$ Тогда в треугольнике $$ABD$$

$$\angle DAB+\angle ABD+\angle BDA=180^\circ,$$

откуда

$$\angle DAB=\angle ABD=\frac{180^\circ-x}{2}=90^\circ-\frac{x}{2}.$$

Углы $$\angle BDA$$ и $$\angle BDC$$ смежные, поэтому

$$\angle BDC=180^\circ-x.$$

В треугольнике $$BCD$$

$$\angle DBC=\angle BCD=\frac{180^\circ-\angle BDC}{2}=\frac{180^\circ-(180^\circ-x)}{2}=\frac{x}{2}.$$

Теперь найдём угол $$B$$:

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=\left(90^\circ-\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{2}=90^\circ.$$

Ответ: $$90^\circ$$.