Упр.11.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: биссектриса внешнего угла треугольник ABC при вершине C пересекает
прямую AB в точке D;
Доказать: AD:BD=AC:BC;
Доказательство:
1) На луче AC за точкой C отметим точку F;
2) Через точку B проведем прямую, параллельную прямой DC и
пересекающую прямую AC в точке E;
3) Рассмотрим параллельные прямые DC и BE:
угол BEC = углу DCF (как соответственные углы при секущей AC);
угол EBC = углу DCB (как внутренние накрест лежащие углы при секущей BC);
4) CD-биссектриса угла BCF, значит:
угол DCF = углу DCB, тогда угол EBC = углу BEC;
5) Треугольник BCE-равнобедренный с основанием BE, тогда:
BC=CE;
6) По теореме о пропорциональных отрезках для параллельных
прямых DC и BE и угла A:
AD/BD=AC/CE = > AD/BD=AC/BC, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Обозначим через $$F$$ точку на луче $$AC$$ за точкой $$C$$. Через точку $$B$$ проведём прямую, параллельную прямой $$DC$$, и пусть она пересекает прямую $$AC$$ в точке $$E$$.

Так как $$BE \parallel DC$$, то

$$\angle BEC=\angle DCF$$

как соответственные углы при секущей $$AC$$, и

$$\angle EBC=\angle DCB$$

как накрест лежащие углы при секущей $$BC$$.

Поскольку $$CD$$ — биссектриса внешнего угла $$BCF$$, имеем

$$\angle DCF=\angle DCB.$$

Следовательно,

$$\angle BEC=\angle EBC.$$

Значит, треугольник $$BCE$$ равнобедренный, поэтому

$$BC=CE.$$

Теперь применим теорему о пропорциональных отрезках, образованных параллельными прямыми $$DC$$ и $$BE$$ на сторонах угла с вершиной в точке $$A$$: