Упр.4.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Высоты треугольника $$ABC$$, проведённые из вершин $$A$$ и $$C$$, пересекаются в точке $$M$$. Найдите угол $$AMC$$, если угол $$A=70^\circ$$, угол $$C=80^\circ$$.

Так как $$AA_1$$ и $$CC_1$$ — высоты, то

$$\angle AA_1C=90^\circ,\qquad \angle ACC_1=90^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$:

$$\angle ACC_1=90^\circ-\angle A=90^\circ-70^\circ=20^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1C$$:

$$\angle ACA_1=90^\circ-\angle C=90^\circ-80^\circ=10^\circ.$$

Теперь в треугольнике $$AMC$$:

$$\angle AMC+\angle ACM+\angle MAC=180^\circ.$$

Здесь $$\angle ACM=20^\circ$$, а $$\angle MAC=10^\circ$$, значит

$$\angle AMC=180^\circ-20^\circ-10^\circ=150^\circ.$$

Ответ: $$150^\circ$$.