Упр.9.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: две окружности одинакового радиуса равны;
Доказательство:
1) Пусть дана окружность с центром в точке O1 и окружность с центром
в точке O2, при этом радиусы этих окружностей равны: R1=R2=R;
2) Параллельным переносом переместим окружность с центром в
точке O2 так, чтобы точки O2 и O1 совпали;
3) Окружностью является множество всех точек равноудаленных от ее
центра на расстяние радиуса;
4) Так как центры окружностей совместились движением, а их радиусы
равны, то каждая точка, принадлежащая одной окружности, принадлежит
и второй, значит эти окружности полностью совпадают, следовательно
они равны, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть даны две окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$, причём их радиусы равны: $$R_1=R_2=R$$.

Параллельным переносом совместим точку $$O_2$$ с точкой $$O_1$$. При движении расстояния сохраняются, значит образ второй окружности будет окружностью того же радиуса $$R$$ с центром в точке $$O_1$$.

Но окружность — это множество всех точек, находящихся от её центра на расстоянии, равном радиусу. Следовательно, после совмещения центров обе окружности задаются одним и тем же множеством точек.

Значит, две окружности одинакового радиуса совпадают, то есть равны.