Упр.15.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Высота цилиндра $$6\text{ см}$$, радиус основания $$5\text{ см}$$. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии $$4\text{ см}$$ от неё.

Пусть $$O$$ — центр основания цилиндра, а $$ABCD$$ — искомое сечение. Так как сечение проведено параллельно оси цилиндра, оно является прямоугольником.

Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Проведём в нём хорду $$AB$$ так, что расстояние от оси цилиндра до этой хорды равно $$4$$ см. Тогда в окружности радиуса $$5$$ см получаем прямоугольный треугольник $$AOM$$, где $$OM=4$$ см, $$OA=5$$ см, а $$AM$$ — половина хорды $$AB$$.

По теореме Пифагора:

$$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\text{ см}.$$

Следовательно,

$$AB=2AM=2\cdot 3=6\text{ см}.$$

Высота прямоугольника $$ABCD$$ равна высоте цилиндра:

$$AD=6\text{ см}.$$

Тогда площадь сечения:

$$S=AB\cdot AD=6\cdot 6=36\text{ см}^2.$$

Ответ: $$36\text{ см}^2$$.