Упр.6.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат
так, что две его вершины лежат на гипотенузе; гипотенуза треугольника
равна 3 м;
Найти: стороны прямоугольника;
Решение:
1) Пусть ABC-данный треугольник, у которого угол B=90°, AB=BC и
AC=45 см, а FEA1 C1-вписанный в него квадрат;
2) Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то:
угол A = углу C=(180°-90°)/2=45°;
3) FEA1 C1-квадрат, значит:
C1 F перпендикулярен FE, A1 E перпендикулярен EF и FE=EA1=A1 C1=C1 F;
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник AFC1:
угол F=90° и угол A=45°, значит угол C1=90°-45°=45°, следовательно
этот треугольник равноберенный, отсюда AF=FC1;
5) Рассмотрим прямоугольный треугольник CEA1:
угол E=90° и угол C=45°, значит угол A1=90°-45°=45°, следовательно
этот треугольник равноберенный, отсюда CE=EA1;
6) Примем x за единичный отрезок, тогда стороны FEA1 C1 равны:
C1 F=EA1=C1 A1=FE=x;
7) AC=AF+FE+EC=C1 F+FE+EA1=x+x+x=3x;
3x=3, отсюда x=1 м;
8) C1 F=EA1=C1 A1=FE=1 м;
Ответ: 1 м.

Подробный ответ

Обозначим данный равнобедренный прямоугольный треугольник как $$ABC$$, где $$\angle B=90^\circ$$, $$AB=BC$$, а $$AC=3\text{ м}$$. Пусть в него вписан квадрат $$FEA_1C_1$$ так, что две его вершины лежат на гипотенузе $$AC$$, а две другие — на катетах.

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный и прямоугольный, то

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AFC_1$$. В нём $$\angle F=90^\circ$$ и $$\angle A=45^\circ$$, значит $$\angle C_1=45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$AFC_1$$ равнобедренный, поэтому

$$AF=FC_1.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$CEA_1$$ имеем $$\angle E=90^\circ$$ и $$\angle C=45^\circ$$, значит $$\angle A_1=45^\circ$$, откуда

$$CE=EA_1.$$

Пусть сторона квадрата равна $$x$$. Тогда

$$FE=EA_1=A_1C_1=C_1F=x.$$

Гипотенуза $$AC$$ состоит из трёх таких отрезков:

$$AC=AF+FE+EC=C_1F+FE+EA_1=x+x+x=3x.$$

Так как $$AC=3\text{ м}$$, получаем

$$3x=3,$$

откуда

$$x=1\text{ м}.$$