Упр.9.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 9.45. Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали.
Пусть даны ромбы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$, у которых равны диагонали:
$$AC=A_1C_1,\qquad BD=B_1D_1.$$
Обозначим точки пересечения диагоналей через $$O$$ и $$O_1$$ соответственно. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам, значит
$$AC\perp BD,\qquad A_1C_1\perp B_1D_1,$$
$$BO=OD,\qquad B_1O_1=O_1D_1.$$
Так как $$AC=A_1C_1$$, то отрезок $$AC$$ можно совместить с отрезком $$A_1C_1$$ движением так, что $$A$$ совпадёт с $$A_1$$, а $$C$$ — с $$C_1$$. Тогда середина $$O$$ отрезка $$AC$$ совпадёт с серединой $$O_1$$ отрезка $$A_1C_1$$.
Через точку $$O$$ к прямой $$AC$$ проведём перпендикуляр. На нём вершины $$B$$ и $$D$$ ромба находятся на расстоянии $$BO$$ от точки $$O$$. Но по условию $$BD=B_1D_1$$, а значит и половины этих диагоналей равны:
$$BO=B_1O_1,\qquad OD=O_1D_1.$$
Следовательно, на соответствующих полупрямых перпендикуляра к $$AC$$ через точку $$O$$ можно отложить только по одному отрезку данной длины. Значит, после совмещения диагоналей точки $$B$$ и $$B_1$$ совпадут, а также совпадут точки $$D$$ и $$D_1$$.
Итак, при движении ромбы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ полностью совмещаются. Следовательно, они равны.
Ответ: ромбы равны.
