Упр.7.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $$a$$, а один из острых углов равен $$\beta$$. Найдите другой острый угол и катеты.

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный треугольник, где $$\angle C=90^\circ$$, $$AB=a$$ и $$\angle B=\alpha$$.

Тогда по теореме о сумме углов треугольника

$$\angle A=180^\circ-90^\circ-\alpha=90^\circ-\alpha.$$

Найдём катеты через синус и косинус угла $$B$$:

$$\sin \angle B=\frac{AC}{AB}, \qquad AC=AB\cdot \sin \angle B=a\sin\alpha,$$

$$\cos \angle B=\frac{BC}{AB}, \qquad BC=AB\cdot \cos \angle B=a\cos\alpha.$$

Ответ: $$\angle A=90^\circ-\alpha,\quad AC=a\sin\alpha,\quad BC=a\cos\alpha.$$