Упр.6.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

В квадрат (рис. 146) вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат, а $$EFGH$$ — вписанный в него прямоугольник. Обозначим через $$M$$ и $$K$$ точки пересечения диагонали $$AC$$ со сторонами прямоугольника.

Так как в квадрате диагональ является биссектрисой углов, то

$$\angle FAK=\angle KAE=\angle GCM=\angle MCH.$$

Кроме того, $$AC\perp BD$$, а по условию стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, значит $$GH\parallel BD$$ и потому $$AC\perp GH$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$GCH$$. Отрезок $$CM$$ — и высота, и биссектриса, следовательно, $$\triangle GCH$$ равнобедренный. Поэтому

$$MG=MC=MH.$$

Аналогично для треугольника $$FAE$$ получаем

$$FK=AK=KE.$$

Так как противоположные стороны прямоугольника равны, то $$FE=GH$$. Тогда

$$GH=GM+MH=MC+AK.$$

С другой стороны, четырёхугольник $$FGMK$$ — прямоугольник, так как его стороны параллельны диагоналям квадрата, а диагонали квадрата перпендикулярны. Значит, его противоположные стороны равны:

$$FG=KM.$$

Пусть $$MC=AK=x$$. Тогда

$$GH=MC+AK=x+x=2x,$$

$$AC=MC+KM+AK=x+2x+x=4x.$$

Но $$AC=12$$ м, значит

$$4x=12,$$

откуда

$$x=3$$ м.

Следовательно, одна сторона прямоугольника равна

$$GH=2x=6$$ м,

а другая —

$$FG=KM=2x=6$$ м.