Упр.11.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 45 В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС (рис. 262). Найдите сторону ромба, если АВ = с и АС = b.

Подробный ответ

Пусть сторона ромба $$ADEF$$ равна $$x$$. Тогда

$$AD=DE=EF=AF=x.$$

Так как $$ADEF$$ — ромб, его диагональ $$AE$$ является биссектрисой угла $$A$$. Значит, в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AE$$ делит сторону $$BC$$ в отношении прилежащих сторон:

$$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}.$$

С другой стороны, так как $$DE \parallel AC$$ и $$AB \parallel EF$$, то

$$\angle BED=\angle ECF,$$

$$\angle DBE=\angle FEC.$$

Следовательно, треугольники $$DBE$$ и $$FEC$$ подобны, и потому

$$\frac{BE}{CE}=\frac{BD}{FE}.$$

Но $$BD=AB-AD=c-x$$, а $$FE=x$$, значит

$$\frac{BE}{CE}=\frac{c-x}{x}.$$

Приравниваем два выражения для отношения $$\frac{BE}{CE}$$:

$$\frac{c}{b}=\frac{c-x}{x}.$$

Решаем уравнение:

$$cx=b(c-x)$$