Упр.5.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

I) Отобразим условие задачи:
Доказать: прямые, содержащие высоты данного треугольника,
являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника,
образованного прямыми, проходящими через вершины данного
треугольника, паралельно противолежащим сторонам;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник, а A1 B1 C1-треугольник,
образованный как сказано в условии задачи;
2) Проведем высоту BH треугольника ABC, так как прямые A1 C1 и AC
параллельны, то BH перпендикулярен A1 C1;
3) угол ABC = углу BCA1 (так как A1 B1 ||AB и BC-секущая);
4) угол ABC = углу BAC1 (так как B1 C1 ||BC и AB-секущая);
5) угол BCA = углу CBA1 (так как A1 C1 ||AC и BC-секущая);
6) угол BAC = углу ABC1 (так как A1 C1 ||AC и AB-секущая);
7) Треугольники ABC и ABC1 равны по второму признаку, отсюда
BC1=AC;
8) Треугольники ABC и CBA1 равны по второму признаку, отсюда
BA1=AC;
9) Таким образом, C1 B=BA1, значит прямая BH является серединным
перпендикуляром стороны A1 C1 треугольника A1 B1 C1, что и требовалось
Доказать.
10) Аналогичным образом доказывается и для других высот и сторон;
II)
Доказать: все три прямые, содержащие высоты треугольника,
пересекаются в одной точке;
Доказательство:
1) Из доказанного в пункте I этой задачи следует, что высоты
треугольнка ABC являются серединными перпендикулярами сторон
треугольника A1 B1 C1;
2) Как было доказано в предыдущей задаче вокруг любого треугольника
можно описать окружность и только одну;
3) Значит высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке,
которая является центром описанной около треугольника A1 B1 C1
окружности, что и требовалось доказать.

Обозначим данный треугольник через $$ABC$$. Построим треугольник $$A_1B_1C_1$$ так, что через вершину $$A$$ проведена прямая, параллельная $$BC$$, через вершину $$B$$ — прямая, параллельная $$AC$$, через вершину $$C$$ — прямая, параллельная $$AB$$.

Докажем сначала, что прямая, содержащая высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$, является серединным перпендикуляром к стороне $$A_1C_1$$ треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Так как $$A_1C_1 \parallel AC$$, а $$BH \perp AC$$, то $$BH \perp A_1C_1$$.

Осталось показать, что точка $$H$$ — середина отрезка $$A_1C_1$$. Рассмотрим треугольники $$ABC_1$$ и $$ABC$$. Имеем:

$$\angle ABC=\angle BCA_1,$$
$$\angle ACB=\angle CBA_1,$$

так как соответствующие стороны параллельны. Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$ABC_1$$ равны по двум углам и стороне между ними, откуда $$BC_1=AC$$.

Аналогично из равенства треугольников $$ABC$$ и $$CBA_1$$ получаем $$BA_1=AC$$.

Значит, $$BA_1=BC_1$$, то есть точка $$B$$ равноудалена от концов отрезка $$A_1C_1$$. Поскольку $$BH \perp A_1C_1$$, прямая $$BH$$ является серединным перпендикуляром к $$A_1C_1$$.

Аналогично доказывается, что прямые, содержащие две другие высоты треугольника $$ABC$$, являются серединными перпендикулярами к двум другим сторонам треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Теперь докажем, что все три прямые, содержащие высоты треугольника $$ABC$$, пересекаются в одной точке. По доказанному, они являются серединными перпендикулярами сторон треугольника $$A_1B_1C_1$$. Но серединные перпендикуляры сторон любого треугольника пересекаются в одной точке — в центре описанной окружности. Следовательно, все три прямые, содержащие высоты треугольника $$ABC$$, пересекаются в одной точке.

Ответ

1) Прямые, содержащие высоты треугольника, являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника, построенного через вершины параллельно противолежащим сторонам.
2) Все три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.