Упр.10.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны четыре точки $$A(0; 0)$$, $$B(1; 1)$$, $$C(0; 2)$$, $$D(-1; 1)$$. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ — квадрат.

Найдём координаты векторов $$\overrightarrow{AB}=(1-0;\,1-0)=(1;\,1),$$ $$\overrightarrow{DC}=(-1-0;\,1-2)=(-1;\,-1),$$ $$\overrightarrow{BC}=(0-1;\,2-1)=(-1;\,1).$$

Так как $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$ равны, то $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$. Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм.

Проверим, прямой ли угол у параллелограмма:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=1\cdot(-1)+1\cdot1=-1+1=0.$$

Значит, $$AB \perp BC$$, то есть один из углов параллелограмма равен $$90^\circ$$. Следовательно, $$ABCD$$ — прямоугольник.

Найдём диагонали:

$$\overrightarrow{AC}=(0-0;\,2-0)=(0;\,2),$$ $$\overrightarrow{BD}=(-1-1;\,1-1)=(-2;\,0).$$

Их скалярное произведение равно

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\cdot(-2)+2\cdot0=0,$$

значит, $$AC \perp BD$$.

В прямоугольнике, у которого диагонали перпендикулярны, все стороны равны. Следовательно, $$ABCD$$ — квадрат.

Ответ

$$ABCD$$ — квадрат.