Упр.9.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

У параллелограммов $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ $$AB=A_1B_1$$, $$AD=A_1D_1$$ и $$\angle A=\angle A_1$$. Докажите, что параллелограммы равны, т. е. совмещаются движением.

Подробный ответ

Рассмотрим параллелограммы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$. По условию $$AB=A_1B_1$$, $$AD=A_1D_1$$ и $$\angle A=\angle A_1$$.

Совместим движением угол $$A_1$$ с углом $$A$$ так, чтобы вершина $$A_1$$ совпала с вершиной $$A$$, луч $$A_1B_1$$ — с лучом $$AB$$, а луч $$A_1D_1$$ — с лучом $$AD$$.

Тогда на луче $$AB$$ от точки $$A$$ можно отложить только один отрезок длины $$AB$$, значит точка $$B_1$$ совпадёт с точкой $$B$$. Аналогично точка $$D_1$$ совпадёт с точкой $$D$$.

Остаётся определить точку $$C_1$$. В параллелограмме она должна лежать на пересечении прямой, проведённой через $$B_1$$ параллельно $$A_1D_1$$, и прямой, проведённой через $$D_1$$ параллельно $$A_1B_1$$. Но после совмещения это те же самые прямые, что и для параллелограмма $$ABCD$$, поэтому точка $$C_1$$ совпадает с точкой $$C$$.

Следовательно, при движении совпадают все вершины параллелограммов $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$. Значит, эти параллелограммы равны.

Ответ: параллелограммы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ равны.