Упр.15.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Дано: через середину высоты пирамиды проведена плоскость,
параллельная основанию;
Найти: в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды;
Решение:
1) Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, разбивает
ее на две подобные пирамиды;
2) Пусть многоугольники P и P1-основания полной и отсекаемой
пирамиды соответственно, h-высота полной пирамиды и h1-высота
пирамиды, образованной сечением, тогда:
h1=h/2;
3) Примем коэффициент подобия пирамид за число k, тогда:
k=h/h2 =h:h/2=h•2/h=2;
4) Объемы подобных тел относятся как кубы их соответствующих
ленейных размеров, значит:
V/V1 =k^3=2^3=8,отсюда V1=1/8 V;
5) Таким образом, плоскость отсекает от полной пирамиды:
пирамиду объемом 1/8 V и усеченную приамиду объемом 7/8 V, значит
отношение этих частей равно 1:7.
Ответ: 1:7.
Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает от неё меньшую пирамиду, подобную данной.
Так как плоскость проходит через середину высоты, то высота отсечённой пирамиды равна половине высоты всей пирамиды:
$$h_1=\frac{h}{2}.$$
Следовательно, коэффициент подобия пирамид равен
$$k=\frac{h}{h_1}=\frac{h}{h/2}=2.$$
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:
$$\frac{V}{V_1}=k^3=2^3=8,$$
откуда
$$V_1=\frac{1}{8}V.$$
Значит, объём усечённой части равен
$$V-\frac{1}{8}V=\frac{7}{8}V.$$
Итак, плоскость делит объём пирамиды в отношении
$$\frac{1}{8}V:\frac{7}{8}V=1:7.$$
Ответ
$$1:7$$
