Упр.14.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: боковая сторона равнобедренного треугольника 6 см, высота,
проведенная к основанию,4 см;
Найти: радиус описанной окружности;
Решение:
1) Пусть ABC-данный равнобедренный треугольник, с основанием AC;
2) Из вершины B опустим высоту BH на основание треугольника;
3) По условию задачи: AB=BC=6 см и BH=4 см;
4) В прямоугольном треугольнике ABH:
AH=v(AB^2-BH^2 )=v(6^2-4^2 )=v(36-16)=v20=2v5 см;
5) треугольник ABC-равнобедренный, значит высота BH является медианой:
AH=1/2 AC, отсюда AC=2AH=4v5 см;
6) Найдем площадь треугольника ABC:
S=1/2•AC•BH=1/2•4v5•4=8v5 см^2;
7) Радиус описанной окружности:
R=(AB•BC•AC)/(4•S)=(6•6•4v5)/(4•8v5)=36/8=4,5 см;
Ответ: R=4,5 см.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный треугольник, где $$AB=BC=6$$ см, а $$BH$$ — высота, проведённая к основанию $$AC$$, причём $$BH=4$$ см.

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:

$$ AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ см}. $$

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то высота $$BH$$ является также медианой. Значит,

$$ AC=2AH=4\sqrt{5}\text{ см}. $$

Найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$ S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{5}\cdot 4=8\sqrt{5}\text{ см}^2. $$

Радиус описанной окружности найдём по формуле

$$ R=\frac{abc}{4S}, $$

где $$a=AB=6$$, $$b=BC=6$$, $$c=AC=4\sqrt{5}$$. Тогда

$$ R=\frac{6\cdot 6\cdot 4\sqrt{5}}{4\cdot 8\sqrt{5}}=\frac{36}{8}=4{,}5\text{ см}. $$