Упр.5.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что:
- прямые, содержащие высоты данного треугольника, являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника, образованного прямыми, проходящими через вершины данного треугольника параллельно соответствующим противолежащим сторонам;
- все три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Обозначим через $$A_1B_1C_1$$ треугольник, стороны которого проходят через вершины $$A, B, C$$ параллельно противолежащим сторонам треугольника $$ABC$$.
1) Докажем, что прямая, содержащая высоту, является серединным перпендикуляром соответствующей стороны треугольника $$A_1B_1C_1$$
Проведём высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$. Так как $$A_1C_1 \parallel AC$$, то
$$BH \perp A_1C_1.$$
Осталось показать, что точка $$H$$ — середина стороны $$A_1C_1$$.
Рассмотрим треугольники $$ABC_1$$ и $$CBA_1$$.
Имеем:
$$\angle ABC=\angle BCA_1,$$
так как $$A_1B_1 \parallel AB$$ и $$BC$$ — секущая;
$$\angle ACB=\angle CBA_1,$$
так как $$A_1C_1 \parallel AC$$ и $$BC$$ — секущая.
Следовательно, треугольники $$ABC_1$$ и $$CBA_1$$ равны по двум углам и стороне между ними, откуда
$$BC_1=BA_1.$$
Значит, точка $$B$$ равноудалена от точек $$A_1$$ и $$C_1$$, а прямая $$BH$$ перпендикулярна $$A_1C_1$$. Следовательно, $$BH$$ — серединный перпендикуляр стороны $$A_1C_1$$.
Аналогично доказывается, что прямые, содержащие две другие высоты треугольника $$ABC$$, являются серединными перпендикулярами двух других сторон треугольника $$A_1B_1C_1$$.
2) Докажем, что все три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке
Из пункта 1 следует, что все три высоты треугольника $$ABC$$ являются серединными перпендикулярами сторон треугольника $$A_1B_1C_1$$.
Серединные перпендикуляры сторон любого треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности этого треугольника. Значит, все три прямые, содержащие высоты треугольника $$ABC$$, пересекаются в одной точке.
