Упр.9.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: параллелограммы ABCD и A1 B1 C1 D1, у которых AB=A1 B1,
AD=A1 D1 и угол A = углу A1;
Доказать: параллелограммы ABCD и A1 B1 C1 D1 равны;
Доказательство:
1) Как было доказано в задаче 9.43, углы A и A1 с равной градусной мерой
можно совместить движением, при этом вершина A1 совпадет с вершиной A,
луч A1 B1-с лучом AB, а луч A1 D1-с лучом AD;
2) Так как на полупрямой от ее начала можно отложить только один
отрезок заданной длины, то точка B совпадет с точкой B1, а точка
D-с точкой D1;
3) По определению параллелограмма его четвертая вершина должна
находиться на пересечении прямых, проведенных через точки B и D
параллельно сторонам AD и AB соответственно;
4) Так как через каждую данную точку можно провести только одну
прямую, параллельную данной, а две прямые пересекаются только в одной
точке, то точки C и C1 совпадают;
5) Таким образом, у параллелограммов ABCD и A1 B1 C1 D1 при движении
совпадают все вершины, значит совпадают сами параллелограммы, а
следовательно они равны, что и требовалось доказать.

Как было доказано в задаче 9.43, углы $$A$$ и $$A_1$$ с равной градусной мерой можно совместить движением. При этом вершина $$A_1$$ совпадёт с вершиной $$A$$, луч $$A_1B_1$$ — с лучом $$AB$$, а луч $$A_1D_1$$ — с лучом $$AD$$.

Так как на полупрямой от её начала можно отложить только один отрезок заданной длины, то точка $$B$$ совпадёт с точкой $$B_1$$, а точка $$D$$ — с точкой $$D_1$$.

По определению параллелограмма его четвёртая вершина должна находиться на пересечении прямых, проведённых через точки $$B$$ и $$D$$ параллельно сторонам $$AD$$ и $$AB$$ соответственно.

Через каждую данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной, а две прямые пересекаются только в одной точке. Значит, точки $$C$$ и $$C_1$$ совпадают.

Следовательно, при движении совпадают все вершины параллелограммов $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$, значит, совпадают и сами параллелограммы. Поэтому они равны.