Упр.13.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Внутри окружности радиуса $$R$$ расположены $$n$$ равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности. Найдите радиусы этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6 (рис. 295).

Пусть $$O$$ — центр большой окружности радиуса $$R$$, а $$O_1, O_2, \dots, O_n$$ — центры данных равных окружностей радиуса $$r$$.

Соединим центры соседних окружностей. Тогда сторона полученного правильного $$n$$-угольника равна $$2r$$, так как соседние окружности касаются друг друга.

Пусть $$E$$ — центр этого правильного $$n$$-угольника. Тогда расстояние от $$E$$ до каждой вершины равно радиусу описанной окружности около правильного $$n$$-угольника:

$$EO_1=\frac{2r}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}=\frac{r}{\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

С другой стороны, точка $$O$$ — центр большой окружности, а каждая малая окружность касается большой, значит

$$OO_1=R-r.$$

Так как $$O$$ и $$E$$ — центры одной и той же правильной фигуры, то $$O=E$$, следовательно

$$R-r=\frac{r}{\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Отсюда

$$r\left(1+\frac{1}{\sin\frac{180^\circ}{n}}\right)=R,$$
$$r=\frac{R}{1+\frac{1}{\sin\frac{180^\circ}{n}}}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

$$1)\quad n=3,\qquad r=\frac{R}{1+\frac{1}{\sin 60^\circ}} =\frac{R}{1+\frac{2}{\sqrt3}} =\frac{R\sqrt3}{\sqrt3+2}.$$

$$2)\quad n=4,\qquad r=\frac{R}{1+\frac{1}{\sin 45^\circ}} =\frac{R}{1+\sqrt2} =\frac{R}{\sqrt2+1}.$$

$$3)\quad n=6,\qquad r=\frac{R}{1+\frac{1}{\sin 30^\circ}} =\frac{R}{1+2} =\frac{R}{3}.$$

Ответ: $$1) \frac{R\sqrt3}{\sqrt3+2};\quad 2) \frac{R}{\sqrt2+1};\quad 3) \frac{R}{3}.$$