Упр.6.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: сторона квадрата равна 1 м, а его диагональ является стороной
другого кварата;
Найти: диагональ второго квадрата;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный квдрат, у которого AB=BC=CD=DA=1 м,
а диагонали AC и BD пересекаются в точке O;
2) По свойствам квадрата:
угол DCO=1/2 угол DCB=1/2•90°=45°, угол CAD=1/2 угол BAD=1/2•90°=45°;
3) На концах отрезка AC построим углы в 45°, отложим на них отрезки
AC1 и CA1, равные AC;
4) угол CAC1 = углу CAD+ угол DAC1=45°+45°=90°;
угол ACA1 = углу ACD+ угол DCA1=45°+45°=90°;
5) AC1 перпендикулярен AC и CA1 перпендикулярен AC, следовательно AC1 ||CA1;
6) Так как противолежащие стороны четырехугольника ACA1 C1 равны
и параллельны, то он является параллелограммом, отсюда A1 C1=AC;
7) Таким образом, все стороны в ACA1 C1 равны, следовательно он
является ромбом, а так как рядом лежащие углы равны 90°, то все его
углы-прямые, значит ACA1 C1-квадрат;
8) AC-сторона ACA1 C1, следовательно этот квадрат искомый, у него
CC1=CD+DC1=1+1=2 м (по свйству квадрата);
Ответ: 2 м.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат, тогда $$AB=BC=CD=DA=1\text{ м}$$. Его диагональ $$AC$$ является стороной второго квадрата.

Построим на отрезке $$AC$$ квадрат $$ACA_1C_1$$. Тогда его сторона равна $$AC$$, а диагональ $$CC_1$$ равна сумме двух отрезков:

$$CC_1=CD+DC_1.$$

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$\angle DCB=90^\circ$$, а диагональ квадрата биссектрисса угла, значит

$$\angle DCA=\frac{1}{2}\angle DCB=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ.$$

Аналогично получаем, что при построении квадрата на стороне $$AC$$ его диагональ проходит под углом $$45^\circ$$ к стороне, поэтому искомая диагональ второго квадрата состоит из двух равных отрезков, каждый из которых равен стороне первого квадрата:

$$CC_1=1+1=2\text{ м}.$$

Следовательно, диагональ второго квадрата равна $$2\text{ м}$$.