Упр.10.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны четыре точки $$A(1; 1)$$, $$B(2; 3)$$, $$C(0; 4)$$, $$D(-1; 2)$$. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ — прямоугольник.

Найдём координаты векторов $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{DC}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$:

$$\overrightarrow{AB}=(2-1;\,3-1)=(1;\,2),$$

$$\overrightarrow{DC}=(0-(-1);\;4-2)=(1;\,2),$$

$$\overrightarrow{BC}=(0-2;\,4-3)=(-2;\,1).$$

Так как $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC},$$ то $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD.$$ Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм.

Проверим, перпендикулярны ли соседние стороны:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=1\cdot(-2)+2\cdot1=-2+2=0.$$

Значит, $$AB \perp BC,$$ то есть угол $$B$$ равен $$90^\circ.$$ Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: $$ABCD$$ — прямоугольник.