Упр.4.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
Доказательство:
1) Пусть ABC-прямоугольный треугольник с прямым углом C и
углом B равным 30°;
2) угол A=180°- угол B- угол C=180°-30°-90°=60°;
2) Построим треугольник DBC, равный треугольнику ABC как показано
на рисунке;
3) У треугольника ABD: угол A=60°, угол D=60° и угол B=2•30=60°,
значит он равносторонний;
4) Так как AC=1/2 AD и AD=AB, то AC=1/2 AB, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$, $$\angle B=30^\circ$$. Тогда

$$\angle A=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-30^\circ-90^\circ=60^\circ.$$

Построим треугольник $$DBC$$, равный треугольнику $$ABC$$, как показано на рисунке. Тогда $$BC=CD$$, а также $$\angle DBC=\angle ABC=30^\circ$$.

Следовательно, угол при вершине $$B$$ треугольника $$ABD$$ равен

$$\angle ABD=\angle ABC+\angle CBD=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

Кроме того, $$\angle A=60^\circ$$ и $$\angle D=60^\circ$$. Значит, треугольник $$ABD$$ равносторонний, поэтому

$$AB=AD.$$

Точка $$C$$ — середина стороны $$AD$$, так как $$BC$$ является высотой в равностороннем треугольнике $$ABD$$. Значит,

$$AC=\frac{1}{2}AD.$$

Так как $$AD=AB$$, получаем

$$AC=\frac{1}{2}AB.$$