Упр.9.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совмещаются движением.

Пусть даны отрезки $$AB$$ и $$CD$$, причём $$AB=CD$$.

Параллельным переносом совместим точку $$C$$ с точкой $$A$$. Тогда отрезок $$CD$$ перейдёт в отрезок $$AD’$$, и по свойству параллельного переноса

$$AD’=CD=AB.$$

Теперь повернём отрезок $$AD’$$ вокруг точки $$A$$ на угол $$\angle BAD’$$. При этом точка $$D’$$ совместится с точкой $$B$$. Значит, отрезок $$CD$$ в результате движения перейдёт в отрезок $$AB$$.

Следовательно, отрезки равной длины совмещаются движением.

Пусть теперь даны равные углы $$\angle AOB$$ и $$\angle CO_1D$$.

Параллельным переносом совместим точку $$O_1$$ с точкой $$O$$. Тогда угол $$\angle CO_1D$$ перейдёт в угол $$\angle C’OD’$$, причём

$$\angle C’OD’=\angle CO_1D=\angle AOB.$$

Из равенства углов получаем:

$$\angle C’OA=\angle C’OD’+\angle AOD’$$

и

$$\angle D’OB=\angle AOB+\angle AOD’.$$

Так как $$\angle C’OD’=\angle AOB$$, то

$$\angle C’OA=\angle D’OB.$$

Теперь повернём угол $$\angle C’OD’$$ вокруг точки $$O$$ на угол, равный $$\angle C’OA$$. Тогда луч $$OC’$$ совместится с лучом $$OA$$, а луч $$OD’$$ — с лучом $$OB$$. Значит, угол $$\angle CO_1D$$ в результате движения перейдёт в угол $$\angle AOB$$.

Следовательно, углы с равной градусной мерой совмещаются движением.