Упр.14.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 43. Найдите радиусы описанной (R) и вписанной (r) окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13,14,15; 2) 15,13,4; 3) 35,29,8; 4) 4,5,7.

Найдём площадь каждого треугольника по формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Затем воспользуемся формулами для радиусов описанной и вписанной окружностей:

$$R=\frac{abc}{4S}, \qquad r=\frac{2S}{a+b+c}.$$

1) $$a=13,\ b=14,\ c=15.$$

$$p=\frac{13+14+15}{2}=21.$$

$$S=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84.$$

$$R=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}=8\frac{1}{8}.$$

$$r=\frac{2\cdot 84}{13+14+15}=\frac{168}{42}=4.$$

2) $$a=15,\ b=13,\ c=4.$$

$$p=\frac{15+13+4}{2}=16.$$

$$S=\sqrt{16\cdot(16-15)\cdot(16-13)\cdot(16-4)}=\sqrt{16\cdot 1\cdot 3\cdot 12}=24.$$

$$R=\frac{15\cdot 13\cdot 4}{4\cdot 24}=\frac{780}{96}=\frac{65}{8}=8\frac{1}{8}.$$

$$r=\frac{2\cdot 24}{15+13+4}=\frac{48}{32}=\frac{3}{2}=1{,}5.$$

3) $$a=35,\ b=29,\ c=8.$$

$$p=\frac{35+29+8}{2}=36.$$

$$S=\sqrt{36\cdot(36-35)\cdot(36-29)\cdot(36-8)}=\sqrt{36\cdot 1\cdot 7\cdot 28}=84.$$

$$R=\frac{35\cdot 29\cdot 8}{4\cdot 84}=\frac{8120}{336}=\frac{145}{6}=24\frac{1}{6}.$$

$$r=\frac{2\cdot 84}{35+29+8}=\frac{168}{72}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}.$$

4) $$a=4,\ b=5,\ c=7.$$

$$p=\frac{4+5+7}{2}=8.$$

$$S=\sqrt{8\cdot(8-4)\cdot(8-5)\cdot(8-7)}=\sqrt{8\cdot 4\cdot 3\cdot 1}=4\sqrt{6}.$$

$$R=\frac{4\cdot 5\cdot 7}{4\cdot 4\sqrt{6}}=\frac{35}{4\sqrt{6}}.$$

$$r=\frac{2\cdot 4\sqrt{6}}{4+5+7}=\frac{8\sqrt{6}}{16}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Ответ

1) $$R=8\frac{1}{8},\ r=4.$$
2) $$R=8\frac{1}{8},\ r=\frac{3}{2}.$$
3) $$R=24\frac{1}{6},\ r=\frac{7}{3}.$$
4) $$R=\frac{35}{4\sqrt{6}},\ r=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$