Упр.7.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 7.43. Даны две окружности с радиусами $$R_1$$, $$R_2$$ и расстоянием между центрами $$d$$. Докажите, что если каждое из чисел $$R_1$$, $$R_2$$ и $$d$$ меньше суммы двух других, то окружности пересекаются в двух точках (рис. 168).
Пусть центры данных окружностей — точки $$A$$ и $$B$$, а точка $$C$$ такова, что $$AC=R_1$$, $$BC=R_2$$, $$AB=d$$. Тогда существует треугольник $$ABC$$, потому что каждое из чисел $$R_1$$, $$R_2$$ и $$d$$ меньше суммы двух других.
Следовательно, точка $$C$$ лежит на обеих окружностях, то есть является одной из точек их пересечения.
Так как $$R_1+R_2\ne d$$, то $$AC+BC\ne AB$$, значит, точка $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$. Построим по другую сторону от прямой $$AB$$ точку $$C_1$$ так, чтобы
$$\angle ABC_1=\angle ABC,\qquad \angle BAC_1=\angle BAC.$$
Тогда треугольники $$ABC$$ и $$ABC_1$$ равны по двум углам и стороне между ними. Отсюда
$$AC_1=AC=R_1,\qquad BC_1=BC=R_2.$$
Значит, точка $$C_1$$ также лежит на обеих окружностях. Итак, окружности имеют две общие точки: $$C$$ и $$C_1$$.
Ответ: окружности пересекаются в двух точках.
