Упр.6.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 6-43. Диагональ квадрата равна $$4\ \text{м}$$. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.

Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат, у которого $$AC=BD=4\text{ м}$$, а диагонали пересекаются в точке $$O$$. Тогда

$$AO=BO=CO=DO=\frac{4}{2}=2\text{ м}.$$

Построим на отрезке $$CD$$ квадрат $$CDO_1O$$ так, чтобы $$CD$$ была его диагональю. В квадрате диагональ делит прямые углы пополам, значит

$$\angle DCO_1=\angle O_1DC=45^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$CO_1D$$

$$\angle CO_1D=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ,$$

следовательно, этот треугольник равнобедренный прямоугольный, и потому

$$CO_1=O_1D.$$

Кроме того,

$$\angle O_1DO=\angle O_1DC+\angle CDO=45^\circ+45^\circ=90^\circ,$$

$$\angle O_1CO=\angle O_1CD+\angle DCO=45^\circ+45^\circ=90^\circ.$$

Значит, четырёхугольник $$DOCO_1$$ — прямоугольник. Так как у него соседние стороны равны, то это квадрат. Следовательно, $$CD$$ — его диагональ, а сторона равна

$$CO=2\text{ м}.$$

Ответ: $$2\text{ м}$$.