Упр.5.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Докажите, что:
- около любого треугольника можно описать окружность, и только одну;
- в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Обозначим через $$O$$ точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$. Тогда по теореме о геометрическом месте точек, равноудалённых от концов отрезка, имеем:
$$OA=OC,\qquad OB=OC.$$
Следовательно, $$OA=OB=OC$$, то есть точка $$O$$ равноудалена от всех вершин треугольника. Значит, окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$ проходит через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, то есть около любого треугольника можно описать окружность.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, поэтому такая окружность единственна.
Теперь докажем, что в любой треугольник можно вписать окружность.
Пусть $$O$$ — точка пересечения биссектрис $$AA_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$. Докажем, что любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Для этого из произвольной точки $$O$$ биссектрисы угла $$BAC$$ опустим перпендикуляры $$OH_1$$ и $$OH_2$$ на стороны $$AB$$ и $$AC$$.
Треугольники $$AOH_1$$ и $$AOH_2$$ прямоугольные, у них $$AO$$ — общая гипотенуза, а $$\angle H_1AO=\angle OAH_2$$, так как $$AO$$ — биссектриса. Значит, треугольники равны по гипотенузе и острому углу, откуда
$$OH_1=OH_2.$$
Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от сторон угла $$BAC$$. Аналогично, как точка биссектрисы угла $$ACB$$, она равноудалена от сторон $$AC$$ и $$BC$$. Значит, $$O$$ равноудалена от всех сторон треугольника $$ABC$$.
Тогда окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом, равным расстоянию от $$O$$ до любой стороны треугольника, касается всех трёх сторон, то есть вписана в треугольник.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому вписанная окружность единственна.
