Упр.1.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

1) Пусть ABC-данный треугольник, а прямая a пересекает все его
стороны;
2) Прямая a делит плоскость на две полуплоскости, если отрезки
AB, BC и AC пересекают прямую, значит все точки лежат в разных
полуплоскостях, что невозможно, так как точек больше, чем полу-
плоскостей;
3) Следовательно, прямая не может пересекать все три стороны
треугольника;
Ответ: не может.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а прямая $$a$$ не проходит ни через одну из его вершин и пересекает все три стороны.

Прямая $$a$$ делит плоскость на две полуплоскости. Если бы она пересекала каждую сторону треугольника, то концы сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ должны были бы располагаться по разные стороны от прямой $$a$$. Но у треугольника три вершины, а у прямой только две полуплоскости, поэтому невозможно, чтобы все три стороны были пересечены одной и той же прямой без прохождения через вершины.

Следовательно, прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, не может пересекать каждую его сторону.