Упр.14.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите радиусы описанной ($$R$$) и вписанной ($$r$$) окружностей для треугольника со сторонами:

1. $$13,14,15$$;
2. $$15,13,4$$;
3. $$35,29,8$$;
4. $$4,5,7$$.

Найдём площадь каждого треугольника по формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Затем используем формулы для радиусов описанной и вписанной окружностей:

$$R=\frac{abc}{4S},\qquad r=\frac{2S}{a+b+c}.$$

1. $$a=13,\ b=14,\ c=15.$$

   $$p=\frac{13+14+15}{2}=21.$$

   $$S=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)} =\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84.$$

   $$R=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84} =\frac{65}{8}=8\frac{1}{8},\qquad r=\frac{2\cdot 84}{13+14+15}=4.$$

2. $$a=15,\ b=13,\ c=4.$$

   $$p=\frac{15+13+4}{2}=16.$$

   $$S=\sqrt{16\cdot(16-15)\cdot(16-13)\cdot(16-4)} =\sqrt{16\cdot 1\cdot 3\cdot 12}=24.$$

   $$R=\frac{15\cdot 13\cdot 4}{4\cdot 24} =\frac{65}{8}=8\frac{1}{8},\qquad r=\frac{2\cdot 24}{15+13+4}=\frac{3}{2}=1{,}5.$$

3. $$a=35,\ b=29,\ c=8.$$

   $$p=\frac{35+29+8}{2}=36.$$

   $$S=\sqrt{36\cdot(36-35)\cdot(36-29)\cdot(36-8)} =\sqrt{36\cdot 1\cdot 7\cdot 28}=84.$$

   $$R=\frac{35\cdot 29\cdot 8}{4\cdot 84} =\frac{145}{6}=24\frac{1}{6},\qquad r=\frac{2\cdot 84}{35+29+8}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}.$$

4. $$a=4,\ b=5,\ c=7.$$

   $$p=\frac{4+5+7}{2}=8.$$

   $$S=\sqrt{8\cdot(8-4)\cdot(8-5)\cdot(8-7)} =\sqrt{8\cdot 4\cdot 3\cdot 1}=4\sqrt{6}.$$

   $$R=\frac{4\cdot 5\cdot 7}{4\cdot 4\sqrt{6}} =\frac{35}{4\sqrt{6}},\qquad r=\frac{2\cdot 4\sqrt{6}}{4+5+7}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Ответ: 1) $$R=8\frac{1}{8},\ r=4$$; 2) $$R=8\frac{1}{8},\ r=1{,}5$$; 3) $$R=24\frac{1}{6},\ r=2\frac{1}{3}$$; 4) $$R=\frac{35}{4\sqrt{6}},\ r=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$