Упр.6.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: диагональ квадрата равна 4 м, а его сторона равна диагонали
второго квадарата;
Найти: сторону второго квадрата;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный квадрат, у которого AC=BD=4 м, а
диагонали AC и BD пересекаются в точке O;
2) По свойствам квадрата:
AO=OC=BO=OD=4/2=2 м, угол CDO=1/2 угол CDA=1/2•90°=45°,
угол DCO=1/2 угол DCB=1/2•90°=45° и угол COD=90°;
3) На концах отрезка CD построим углы в 45°, их вторые стороны
пересекутся в точке O1;
4) Рассмотрим треугольник CO1 D:
угол DCO1 = углу O1 DC=45°, тогда угол CO1 D=180°-45°-45°=90°, значит
этот треугольник равнобедренный и прямоугольный, отсюда:
CO1=O1 D;
5) угол O1 DO = углу O1 DC+ угол CDO=45°+45°=90°;
угол O1 CO = углу O1 CD+ угол DCO=45°+45°=90°;
6) У четырехугольника DOCO1 все углы прямые, значит он является
прямоугольником, а так как его соседние стороны равны, то равны и
все четыре стороны, следвательно он является квадратом;
7) CD-диагональ DOCO1, следовательно этот квадрат-искомый, у
него сторона CO=2 м;
Ответ: 2 м.

Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат, у которого $$AC=BD=4\text{ м}$$, а диагонали пересекаются в точке $$O$$.

По свойствам квадрата диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC=BO=OD=\frac{4}{2}=2\text{ м}.$$

Кроме того, диагональ квадрата делит его угол пополам, поэтому

$$\angle CDO=\frac{1}{2}\angle CDA=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ,$$

$$\angle DCO=\frac{1}{2}\angle DCB=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ.$$

На концах отрезка $$CD$$ построим углы по $$45^\circ$$, их вторые стороны пересекутся в точке $$O_1$$.

Рассмотрим треугольник $$CO_1D$$. В нём

$$\angle DCO_1=\angle O_1DC=45^\circ,$$

следовательно,

$$\angle CO_1D=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$CO_1D$$ равнобедренный и прямоугольный, поэтому

$$CO_1=O_1D.$$

Теперь найдём углы четырёхугольника $$DOCO_1$$:

$$\angle O_1DO=\angle O_1DC+\angle CDO=45^\circ+45^\circ=90^\circ,$$

$$\angle O_1CO=\angle O_1CD+\angle DCO=45^\circ+45^\circ=90^\circ.$$

У четырёхугольника $$DOCO_1$$ все углы прямые, значит, это прямоугольник. Так как его соседние стороны равны, то он является квадратом.

Следовательно, $$CD$$ — диагональ искомого квадрата, а его сторона равна

$$CO=2\text{ м}.$$

Ответ

$$2\text{ м}$$