Упр.11.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Катеты прямоугольного треугольника относятся как $$m:n$$. Как относятся проекции катетов на гипотенузу?

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный треугольник, где $$\angle C=90^\circ$$ и $$AC:CB=m:n$$.

Проведём высоту $$CD$$ к гипотенузе $$AB$$. Тогда отрезки $$AD$$ и $$BD$$ — это проекции катетов $$AC$$ и $$CB$$ на гипотенузу.

Из свойств прямоугольного треугольника:

$$AC^2=AB\cdot AD,$$

$$BC^2=AB\cdot BD.$$

Разделим одно равенство на другое:

$$\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AB\cdot AD}{AB\cdot BD}=\frac{AD}{BD}.$$

Так как $$AC:CB=m:n$$, то

$$\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{m^2}{n^2}.$$

Следовательно,

$$AD:BD=m^2:n^2.$$

Ответ: $$m^2:n^2$$.