Упр.5.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найти: на данной прямой точку, которая находится на данном
расстоянии от другой данной прямой;
Решение:
Пусть a и b-данные прямые, а h-данное расстояние;
I) Если прямые a и b параллельны и находятся на расстоянии h,
то искомой точкой является любая точка прямой a (задача 4.1);
II) Если прямые a и b параллельны и находятся на расстоянии
отличном от h, то такой точки нет;
III) Если прямые a и b пересекаются:
1) На прямой b отметим произвольную точку B;
2) Через точку B проведем перпендикуляр к прямой b;
3) На данном перпендикуляре отметим отрезки BB1 и BB2 длиной h;
4) Через точки B1 и B2 проведем перпендикуляры b1 и b2 к прямой, на
которой они лежат;
5) Прямые b1 и b2 параллельны прямой b и отстоят от нее на
расстояние h, значит они являются геометрическим местом точек,
отстоящих от прямой b на расстояние h (задача 4.1);
6) Отметим точки A1 и A2 на пересечении прямых b1 и b2 с прямой a,
данные точки-искомые.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — данные прямые, а $$h$$ — данное расстояние.

I) Если прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны и находятся на расстоянии $$h$$, то искомой точкой является любая точка прямой $$a$$.

II) Если прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, но расстояние между ними отлично от $$h$$, то такой точки нет.

III) Если прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются, то построение выполняется так:

1. На прямой $$b$$ отметим произвольную точку $$B$$.
2. Через точку $$B$$ проведём перпендикуляр к прямой $$b$$.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезки $$BB_1$$ и $$BB_2$$ длиной $$h$$.
4. Через точки $$B_1$$ и $$B_2$$ проведём перпендикуляры $$b_1$$ и $$b_2$$ к прямой, на которой они лежат.
5. Прямые $$b_1$$ и $$b_2$$ параллельны прямой $$b$$ и отстоят от неё на расстояние $$h$$, значит, они являются геометрическим местом точек, находящихся от прямой $$b$$ на расстоянии $$h$$.
6. Точки $$A_1$$ и $$A_2$$ пересечения прямых $$b_1$$ и $$b_2$$ с прямой $$a$$ и будут искомыми.

Таким образом, искомая точка на прямой $$a$$ находится как точка её пересечения с одной из прямых, параллельных $$b$$ и удалённых от неё на расстояние $$h$$.

Ответ

Если $$a \parallel b$$ и расстояние между ними равно $$h$$, то подходит любая точка прямой $$a$$; если расстояние не равно $$h$$, то решения нет; если прямые пересекаются, искомые точки — $$A_1$$ и $$A_2$$.