Упр.10.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.

Пусть $$ABCD$$ — ромб, у которого сторона равна $$a$$. Тогда

$$AB=BC=CD=DA=a.$$

Рассмотрим векторы диагоналей. По правилу треугольника

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$

По правилу параллелограмма

$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}.$$

Найдём их скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD} =(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}) =\overrightarrow{BC}^{\,2}-\overrightarrow{AB}^{\,2}.$$

Так как $$AB=BC=a$$, то

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD} =BC^2-AB^2=a^2-a^2=0.$$

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то они перпендикулярны. Значит,

$$AC\perp BD.$$

Ответ: диагонали ромба перпендикулярны.