Упр.14.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

R=abc/4S, r=2S/(a+b+c),
где а, b, с — стороны треугольника, a S — его площадь.

Подробный ответ

1) Формула для радиуса описанной окружности.

Пусть треугольник $$ABC$$ вписан в окружность радиуса $$R$$, а его стороны равны $$AB=c$$, $$BC=a$$, $$AC=b$$. Обозначим $$\angle BAC=\alpha$$.

Так как $$\angle BAC$$ — вписанный угол, то соответствующий центральный угол $$\angle BOC$$ равен

$$\angle BOC=2\alpha.$$

В равнобедренном треугольнике $$BOC$$ проведём медиану $$OM$$ к основанию $$BC$$. Тогда $$OM$$ является также высотой и биссектрисой, поэтому

$$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}, \qquad \angle BOM=\alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $$BOM$$ имеем

$$\sin \angle BOM=\frac{BM}{BO}.$$

Так как $$BO=R$$, то

$$\sin \alpha=\frac{a}{2R}, \qquad R=\frac{a}{2\sin \alpha}.$$

С другой стороны, площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot AB \cdot \sin \angle BAC=\frac{1}{2}bc\sin \alpha,$$

откуда

$$\sin \alpha=\frac{2S}{bc}.$$

Подставим это в формулу для $$R$$:

$$R=\frac{a}{2\sin \alpha}=\frac{a}{2\cdot \frac{2S}{bc}}=\frac{abc}{4S}.$$

Итак,

$$R=\frac{abc}{4S}.$$

2) Формула для радиуса вписанной окружности.

Пусть окружность радиуса $$r$$ вписана в треугольник $$ABC$$, а её центр — точка $$O$$. Опустим перпендикуляры $$OA_1$$, $$OB_1$$ и $$OC_1$$ на стороны треугольника. Тогда

$$OA_1=OB_1=OC_1=r.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна сумме площадей треугольников $$OAB$$, $$OBC$$ и $$OCA$$:

$$ S=S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OCA} =\frac{1}{2}c r+\frac{1}{2}a r+\frac{1}{2}b r. $$

Следовательно,

$$S=\frac{1}{2}r(a+b+c),$$

откуда

$$r=\frac{2S}{a+b+c}.$$

Итак,

$$r=\frac{2S}{a+b+c}.$$