Упр.6.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- На каждой стороне квадрата $$ABCD$$ отложены равные отрезки: $$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1$$. Докажите, что четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ есть квадрат (рис. 145).
Так как $$ABCD$$ — квадрат, то
$$AB=BC=CD=DA,$$
а также $$\angle ABC=\angle BCD=\angle CDA=\angle DAB=90^\circ.$$
По условию
$$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1.$$
Тогда
$$A_1B=BC-B_1C=CD-C_1D=DA-D_1A,$$
то есть соответствующие отрезки на сторонах квадрата равны.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BB_1A_1,$$ $$CC_1B_1,$$ $$DD_1C_1$$ и $$AA_1D_1.$$ У них равны катеты:
$$BB_1=CC_1=DD_1=AA_1,$$
$$BA_1=CB_1=DC_1=AD_1.$$
Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, откуда
$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1.$$
Значит, четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб.
Теперь докажем, что один из его углов прямой. В треугольнике $$BB_1A_1$$ угол при $$B_1$$ прямой, поэтому
$$\angle BB_1A_1+\angle BA_1B_1=90^\circ.$$
Так как $$\angle BB_1C=90^\circ,$$ то
$$\angle A_1B_1C_1=\angle BB_1C-\bigl(\angle BB_1A_1+\angle C_1B_1C\bigr).$$
Но $$\angle C_1B_1C=\angle BA_1B_1,$$ значит
$$\angle A_1B_1C_1=90^\circ.$$
Аналогично получаем, что
$$\angle B_1C_1D_1=\angle C_1D_1A_1=\angle D_1A_1B_1=90^\circ.$$
Итак, ромб $$A_1B_1C_1D_1$$ имеет прямые углы, значит, он является квадратом.
