Упр.11.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 42 Докажите, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.

Подробный ответ

Пусть треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle A=\angle A_1,\quad \angle B=\angle B_1,\quad \angle C=\angle C_1,$$

а соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}=k.$$

Проведём высоты $$BH$$ и $$B_1H_1$$ этих треугольников. Тогда прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$A_1B_1H_1$$ подобны, так как у них

$$\angle AHB=\angle A_1H_1B_1=90^\circ,$$

и

$$\angle BAH=\angle B_1A_1H_1,$$

поскольку $$\angle A=\angle A_1.$$

Из подобия прямоугольных треугольников получаем:

$$\frac{B_1H_1}{BH}=\frac{A_1B_1}{AB}=k.$$

Но $$k$$ — это коэффициент подобия треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, значит, соответствующие высоты относятся так же, как соответствующие стороны.

Аналогично доказывается для высот, проведённых из других вершин.