Упр.4.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Из вершины тупого угла $$B$$ в треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$BD$$. Найдите углы треугольников $$ABD$$ и $$CBD$$, зная, что $$\angle A=\alpha$$, $$\angle B=\beta$$.

Так как $$BD$$ — высота, то

$$\angle BDC=\angle BDA=90^\circ.$$

Найдём третий угол треугольника $$ABC$$:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. В нём

$$\angle BAD=\alpha,\qquad \angle BDA=90^\circ,$$

поэтому

$$\angle ABD=180^\circ-\alpha-90^\circ=90^\circ-\alpha.$$

Теперь найдём угол $$DBC$$. Так как $$\angle ABC=\beta$$ и $$\angle ABD=90^\circ-\alpha,$$ то

$$\angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ.$$

В треугольнике $$CBD$$ угол при вершине $$C$$ равен

$$\angle DCB=180^\circ-\angle BDC-\angle DBC=180^\circ-90^\circ-(\alpha+\beta-90^\circ)=180^\circ-\alpha-\beta.$$

Итак, углы треугольников:

$$\triangle ABD:\ \angle BAD=\alpha,\ \angle BDA=90^\circ,\ \angle ABD=90^\circ-\alpha;$$

$$\triangle CBD:\ \angle BDC=90^\circ,\ \angle DBC=\alpha+\beta-90^\circ,\ \angle DCB=180^\circ-\alpha-\beta.$$