Упр.9.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: в предыдущей задаче каждая сторона треугольника ABC
видна из точки, в которой располагается комбинат, под углом 120°;
Доказательство:
1) Воспользуемся рассуждениями и построениями из предыдущей задачи;
2) треугольник AKK1-равносторонний, следовательно: угол K1 KA=60°;
3) Рассмотрим треугольник BKK2:
BK=BK2 и угол KBK2=60°, значит треугольник BKK2 также равносторонний, отсюда:
угол BKK2=60°;
4) Углы K1 KK2 и K1 KA-смежные, значит:
угол K1 KK2=180°- угол K1 KA=180°-60°=120°;
5) угол K1 KB = углу KKA- угол BKK2=120°-60°=60°;
6) угол AKB = углу K1 KA+ угол K1 KB=60°+60°=120°;
8) Углы K1 KB и BKC смежные, значит:
угол BKC=180°- угол K1 KB=180°-60°=120°;
9) Углы AKC и K1 KA смежные, значит:
угол AKC=180°- угол K1 KA=180°-60°=120°;
10) Таким образом, каждая сторона треугольника ABC видна из точки K
под углом 120°, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Воспользуемся построениями и рассуждениями из предыдущей задачи.

1) Треугольник $$AKK_1$$ равносторонний, значит $$\angle K_1KA=60^\circ$$.

2) Рассмотрим треугольник $$BKK_2$$. Так как $$BK=BK_2$$ и $$\angle KBK_2=60^\circ$$, то $$\triangle BKK_2$$ тоже равносторонний. Следовательно, $$\angle BKK_2=60^\circ$$.

3) Углы $$\angle K_1KK_2$$ и $$\angle K_1KA$$ смежные, поэтому

$$\angle K_1KK_2=180^\circ-\angle K_1KA=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

4) Тогда

$$\angle K_1KB=\angle K_1KK_2-\angle BKK_2=120^\circ-60^\circ=60^\circ.$$

5) Теперь найдём угол между лучами $$KA$$ и $$KB$$:

$$\angle AKB=\angle K_1KA+\angle K_1KB=60^\circ+60^\circ=120^\circ.$$

6) Углы $$\angle K_1KB$$ и $$\angle BKC$$ смежные, значит

$$\angle BKC=180^\circ-\angle K_1KB=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

7) Аналогично, углы $$\angle AKC$$ и $$\angle K_1KA$$ смежные, поэтому

$$\angle AKC=180^\circ-\angle K_1KA=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Итак, каждая сторона треугольника $$ABC$$ видна из точки $$K$$ под углом $$120^\circ$$.