Упр.15.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Боковые рёбра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое равно $$b$$. Найдите объём пирамиды.

Пусть $$PABC$$ — данная треугольная пирамида, причём $$AP \perp BP,\; BP \perp CP,\; CP \perp AP$$ и $$AP=BP=CP=b$$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$APB$$ по теореме Пифагора

$$AB=\sqrt{AP^2+BP^2}=\sqrt{b^2+b^2}=b\sqrt{2}.$$

Аналогично

$$BC=CA=AB=b\sqrt{2}.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равносторонний, поэтому

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 60^\circ=\frac{1}{2}\cdot b\sqrt{2}\cdot b\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{b^2\sqrt{3}}{2}.$$

Высота пирамиды равна

$$h=\sqrt{b^2-\frac{(b\sqrt{2})^2}{3}}=\sqrt{b^2-\frac{2b^2}{3}}=\sqrt{\frac{b^2}{3}}=\frac{b}{\sqrt{3}}.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{1}{6}b^3.$$

Ответ: $$\frac{1}{6}b^3$$.