Упр.14.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Выведите следующие формулы для радиусов описанной $$R$$ и вписанной $$r$$ окружностей треугольника: $$R=\frac{abc}{4S}$$, $$r=\frac{2S}{a+b+c}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — стороны треугольника, а $$S$$ — его площадь.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ имеет стороны $$AB=c,$$ $$BC=a,$$ $$AC=b,$$ а его площадь равна $$S.$$

1. Формула для радиуса описанной окружности

Обозначим радиус описанной окружности через $$R,$$ а её центр — через $$O.$$ Тогда

$$OA=OB=OC=R.$$

Пусть $$\angle BAC=\alpha.$$ Этот угол вписанный, значит соответствующий центральный угол

$$\angle BOC=2\alpha.$$

В равнобедренном треугольнике $$BOC$$ проведём высоту $$OM$$ к стороне $$BC.$$ Тогда $$OM$$ является и медианой, и биссектрисой, поэтому

$$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}, \qquad \angle BOM=\alpha.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOM$$:

$$\sin\alpha=\frac{BM}{BO}=\frac{a/2}{R}=\frac{a}{2R}.$$

С другой стороны, площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S=\frac{1}{2}\,AC\cdot AB\cdot \sin\angle BAC=\frac{1}{2}bc\sin\alpha,$$

откуда

$$\sin\alpha=\frac{2S}{bc}.$$

Подставим это в формулу для $$\sin\alpha$$:

$$\frac{a}{2R}=\frac{2S}{bc}.$$

Тогда

$$R=\frac{abc}{4S}.$$

2. Формула для радиуса вписанной окружности

Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности, а $$O$$ — её центр. Опустим из точки $$O$$ перпендикуляры на стороны треугольника. Тогда расстояния от центра до всех сторон равны $$r$$.

Площадь треугольника $$ABC$$ можно представить как сумму площадей трёх треугольников с общей вершиной $$O$$:

$$S=S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OCA}.$$

Каждая из этих площадей равна половине произведения основания на высоту $$r$$:

$$S=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br.$$

Следовательно,

$$S=\frac{1}{2}r(a+b+c).$$

Отсюда

$$r=\frac{2S}{a+b+c}.$$