Упр.10.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Векторы $$a+b$$ и $$a-b$$ перпендикулярны. Докажите, что $$|a|=|b|$$.

Так как векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=0.$$

Раскроем скобки:

$$\vec a\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b=0.$$

Но $$\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$$ и $$\vec b\cdot\vec b=|\vec b|^2$$, значит

$$|\vec a|^2-|\vec b|^2=0.$$

Следовательно,

$$|\vec a|^2=|\vec b|^2,$$

а значит,

$$|\vec a|=|\vec b|.$$

Ответ: $$|\vec a|=|\vec b|$$.