Упр.15.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 41. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объём правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.
Объём правильной пирамиды равен
$$V=\frac13 S_{\text{осн}}h,$$
где $$S_{\text{осн}}$$ — площадь основания, $$h$$ — высота пирамиды.
Пусть основание — правильный $$n$$-угольник со стороной $$a$$, а боковое ребро равно $$b$$. Тогда вершина пирамиды находится над центром основания, а расстояние от центра основания до вершины многоугольника обозначим через $$R$$.
Для правильного $$n$$-угольника
$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, боковым ребром и радиусом $$R$$, имеем
$$h=\sqrt{b^2-R^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$
Площадь основания правильного $$n$$-угольника:
$$S_{\text{осн}}=\frac{na^2}{4\tan\frac{180^\circ}{n}}.$$
Тогда
$$V=\frac13\cdot \frac{na^2}{4\tan\frac{180^\circ}{n}}\cdot \sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
1) Треугольная пирамида, $$n=3$$.
$$\tan 60^\circ=\sqrt3,\qquad \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$V=\frac13\cdot \frac{3a^2}{4\sqrt3}\cdot \sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \frac34}}$$
$$V=\frac{a^2}{4\sqrt3}\cdot \sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}.$$
2) Четырёхугольная пирамида, $$n=4$$.
$$\tan 45^\circ=1,\qquad \sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Тогда
$$V=\frac13\cdot \frac{4a^2}{4}\cdot \sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \frac12}}$$
$$V=\frac{a^2}{3}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2}.$$
3) Шестиугольная пирамида, $$n=6$$.
$$\tan 30^\circ=\frac1{\sqrt3},\qquad \sin 30^\circ=\frac12.$$
Тогда
$$V=\frac13\cdot \frac{6a^2}{4\cdot \frac1{\sqrt3}}\cdot \sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \frac14}}$$
$$V=\frac{\sqrt3\,a^2}{2}\sqrt{b^2-a^2}=\frac{a^2}{2}\sqrt{3\left(b^2-a^2\right)}.$$
Ответ
$$1)\ \frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2};\qquad 2)\ \frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2};\qquad 3)\ \frac{a^2}{2}\sqrt{3\left(b^2-a^2\right)}.$$
