Упр.14.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: среди всех параллелограммов с данными диагоналями
наибольшую площадь имеет ромб;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-параллелограмм с данными диагоналями AC и BD
и наибольшей площадью S;
2) По доказанному в предыдущей задаче его площадь равна:
S=1/2•AC•BD•sin угла AOD;
3) Синус угла не может быть больше единицы, это следует из
определения синуса острого угла как отношения противолежащего
катета к гипотензуе, а также из тождества sina=sin(180°-a), которое
означает, что синус любого тупого угла равен синусу, какого-нибудь
острого угла;
4) Следовательно, наибольшее значение S достигается при:
sin угла AOD=1, отсюда угол AOD=90°;
5) По свойству параллелограмма: AO=OC и BO=OD;
6) Прямоугольные треугольники AOB, BOC, COD и AOD равны по двум
катетам, отсюда следует равенство их гипотенуз: AB=BC=CD=AD;
7) Таким образом, все стороны параллелограмма ABCD равны, значит
он является ромбом, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм с данными диагоналями $$AC$$ и $$BD$$, а его площадь равна $$S$$.

По формуле площади параллелограмма через диагонали и угол между ними имеем:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin \angle AOD.$$

Так как $$\sin \angle AOD \le 1$$, то наибольшее значение площади достигается при

$$\sin \angle AOD=1,$$

то есть при $$\angle AOD=90^\circ.$$

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Тогда прямоугольные треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$AOD$$ имеют равные катеты, следовательно, они равны по двум катетам. Отсюда их гипотенузы равны:

$$AB=BC=CD=DA.$$

Значит, все стороны параллелограмма равны, то есть он является ромбом.

Следовательно, среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.