Упр.6.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 6-41. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен $$2\ \text{м}$$, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.
Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный равнобедренный треугольник, где $$\angle B=90^\circ$$ и $$AB=BC=2\text{ м}$$. В него вписан квадрат $$BA_1B_1C_1$$, имеющий с треугольником общий угол.
Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный прямоугольный, то
$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AC_1B_1$$. В нём $$\angle C_1=90^\circ$$, а $$\angle A=45^\circ$$, значит
$$\angle B_1=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$
Следовательно, треугольник $$AC_1B_1$$ равнобедренный, поэтому
$$C_1B_1=AC_1.$$
Сторона квадрата равна $$BA_1=A_1B_1=B_1C_1=C_1B$$, а его периметр:
$$P=4\cdot C_1B_1.$$
Из равенства $$C_1B_1=AC_1$$ и того, что $$AC_1+C_1B=AB$$, получаем
$$C_1B_1+C_1B=AB=2\text{ м}.$$
Тогда
$$P=2\cdot( C_1B_1+C_1B)=2\cdot AB=2\cdot 2=4\text{ м}.$$
Ответ: $$4\text{ м}$$.
