Упр.10.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 41. Векторы а + b и а — b перпендикулярны. Докажите, что |a| = |b|.

Так как векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

$$ (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=0. $$

Раскроем скобки:

$$ \vec a\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b=0. $$

Но

$$ \vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2,\qquad \vec b\cdot\vec b=|\vec b|^2. $$

Тогда получаем:

$$ |\vec a|^2-|\vec b|^2=0, $$

откуда

$$ |\vec a|^2=|\vec b|^2. $$

Так как длины векторов неотрицательны, то

$$ |\vec a|=|\vec b|. $$

Ответ

$$|\vec a|=|\vec b|.$$