Упр.5.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на расстояние $$h$$, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от неё на расстояние $$h$$.

Пусть $$a$$ — данная прямая. Проведём две прямые $$b_1$$ и $$b_2$$, параллельные прямой $$a$$ и отстоящие от неё на расстояние $$h$$.

Возьмём произвольную точку $$B_1$$ на прямой $$b_1$$ и опустим из неё перпендикуляр $$B_1A_1$$ на прямую $$a$$. Так как расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, то

$$A_1B_1=h.$$

Аналогично, для любой точки $$B_2$$ на прямой $$b_2$$, если опустить перпендикуляр $$B_2A_2$$ на прямую $$a$$, получим

$$A_2B_2=h.$$

Значит, каждая точка прямых $$b_1$$ и $$b_2$$ удалена от прямой $$a$$ на расстояние $$h$$.

Обратно, если точка удалена от прямой $$a$$ на расстояние $$h$$, то через неё можно провести перпендикуляр к $$a$$ длины $$h$$. Концы всех таких перпендикуляров лежат на двух прямых, параллельных $$a$$ и расположенных по разные стороны от неё на расстоянии $$h$$.

Следовательно, геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на расстояние $$h$$, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от неё на расстояние $$h$$.