Упр.15.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

По стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите объём правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Для правильной пирамиды вершина проектируется в центр основания, поэтому высота пирамиды выражается через боковое ребро $$b$$ и радиус описанной около основания окружности $$R$$:

$$h=\sqrt{b^2-R^2}.$$

Объём пирамиды:

$$V=\frac13 S_{\text{осн}}h.$$

Для правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$:

$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}},$$

$$S_{\text{осн}}=\frac{na^2}{4\tan\frac{180^\circ}{n}}.$$

Тогда

$$V=\frac{na^2}{12\tan\frac{180^\circ}{n}}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$

1) Правильная треугольная пирамида

Здесь $$n=3$$, поэтому

$$\tan 60^\circ=\sqrt3,\qquad \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Подставим:

$$V=\frac{3a^2}{12\tan 60^\circ}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 60^\circ}} =\frac{a^2}{4\sqrt3}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}.$$

Приведём к более удобному виду:

$$V=\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}.$$

2) Правильная четырёхугольная пирамида

Здесь $$n=4$$, поэтому

$$\tan 45^\circ=1,\qquad \sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$V=\frac{4a^2}{12\tan 45^\circ}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 45^\circ}} =\frac{a^2}{3}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}.$$

Следовательно,

$$V=\frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2}.$$

3) Правильная шестиугольная пирамида

Здесь $$n=6$$, поэтому

$$\tan 30^\circ=\frac1{\sqrt3},\qquad \sin 30^\circ=\frac12.$$

Подставим:

$$V=\frac{6a^2}{12\tan 30^\circ}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 30^\circ}} =\frac{\sqrt3\,a^2}{2}\sqrt{b^2-a^2}.$$

Итак,

$$V=\frac{a^2}{2}\sqrt{3(b^2-a^2)}.$$

Ответ

1) $$\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}$$; 2) $$\frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2}$$; 3) $$\frac{a^2}{2}\sqrt{3(b^2-a^2)}$$.