Упр.9.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: три населенных пункта A, B и C расположены в вершинах
остроугольного треугольника:
Найти: где потроить комбинат K, чтобы сумма расстояний от него до
всех трех пунктов была минимальной;
Решение:
1) Допустим такая точка K уже существует;
2) Повернем треугольник AKB на угол 60° около вершины A так, чтобы
точки B1 и K1 лежали по другую сторону от точки C относительно
прямой AB;
3) Расстояния при движении сохраняются, значит:
B1 K1=BK и AK=AK1;
4) Треугольник AKK1-равнобедренный с угол A=60°:
угол K = углу K1=(180°-60°)/2=60°, значит треугольник AKK1-равносторонний, отсюда:
KK1=AK;
5) AK+BK+CK=KK1+B1 K1+CK=CB1, а так как расстояния от
точки K до вершин треугольника ABC минимальны, то по неравенству
треугольника точки B1, K1, K и C лежат на одной прямой;
6) Аналогично доказывается, что если треугольник CBK повернуть на
угол 60°, около точки B так, чтобы точки C2 и K2 лежали по другую сторону
от точки A относительно прямой BC, то точка K будет лежать на одной
прямой с точками A и C2;
7) Таким образом, для нахождения местоположения комбината K следует
повернуть отрезок AB около точки A и отрезок CB около точки B на 60°
так, чтобы точка B1 лежала по другую сторону от точки C относительно
прямой AB, а точка C2-по другую сторону от точки A относительно
прямой BC, тогда точка K будет лежать на пересечении прямых CB1 и AC2;

Пусть искомая точка расположения комбината — $$K$$. Нужно минимизировать сумму $$AK+BK+CK$$.

Повернём треугольник $$AKB$$ вокруг точки $$A$$ на угол $$60^\circ$$ так, чтобы образ точки $$B$$ обозначить через $$B_1$$, а образ точки $$K$$ — через $$K_1$$. При движении расстояния сохраняются, значит

$$BK=B_1K_1,\qquad AK=AK_1.$$

Тогда

$$AK+BK+CK=AK_1+B_1K_1+CK.$$

Так как $$\angle KAK_1=60^\circ$$ и $$AK=AK_1$$, то треугольник $$AKK_1$$ равнобедренный с вершиной при $$A$$. Следовательно, его углы при основании равны:

$$\angle AKK_1=\angle AK_1K=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Значит, треугольник $$AKK_1$$ равносторонний, поэтому

$$KK_1=AK.$$

Тогда

$$AK+BK+CK=KK_1+B_1K_1+CK.$$

Если точки $$C, K, K_1, B_1$$ лежат на одной прямой, то по неравенству треугольника сумма $$KK_1+B_1K_1+CK$$ становится равной расстоянию между крайними точками, то есть минимальна. Аналогично, поворотом треугольника $$CBK$$ вокруг точки $$B$$ на угол $$60^\circ$$ получаем точку $$C_2$$, и точка $$K$$ должна лежать на прямой $$AC_2$$.

Следовательно, искомая точка $$K$$ находится как пересечение прямых $$CB_1$$ и $$AC_2$$, где $$B_1$$ и $$C_2$$ получены поворотом отрезков $$AB$$ и $$CB$$ вокруг точек $$A$$ и $$B$$ на $$60^\circ$$.

Итак, чтобы сумма расстояний от комбината до пунктов $$A$$, $$B$$ и $$C$$ была наименьшей, нужно построить точку $$K$$ — пересечение прямых $$CB_1$$ и $$AC_2$$.

Ответ

Комбинат следует построить в точке $$K$$ — пересечении прямых $$CB_1$$ и $$AC_2$$, где $$B_1$$ и $$C_2$$ получены поворотом отрезков $$AB$$ и $$CB$$ на $$60^\circ$$.