Упр.8.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: три прямые x+2y=3,2x-y=1,3x+y=4;
Доказать: эти прямые пересекаются в одной точке;
Доказательство:
1) Пусть A (x; y)-точка пересечения первых двух прямых, значит
ее координаты являются решением уравнений этих прямых:
{-(x+2y=3@2x-y=1)+, отсюда x=3-2y;
2) Подставим значение x во второе уравнение:
2•(3-2y)-y=1;
6-4y-y=1;
-5y=-5, отсюда y=1;
3) Тогда: x=3-2•1=3-2=1;
4) Подставим координаты точки A(1; 1) в уравнение третьей прямой:
3•1+1=4 = > 3+1=4 = > 4=4-верно;
Значит, точка A приналежит третьей прямой;
5) Таким образом, все три прямые имеют общую точку A(1; 1),
следовательно они пересекаются в этой точке, что и требовалось
Доказать.

Найдём точку пересечения первых двух прямых:

$$ \begin{cases} x+2y=3,\\ 2x-y=1. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=3-2y.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$ 2(3-2y)-y=1, $$
$$ 6-4y-y=1, $$
$$ -5y=-5, $$
$$ y=1. $$

Тогда

$$x=3-2\cdot 1=1.$$

Значит, первые две прямые пересекаются в точке $$A(1;1)$$.

Проверим, принадлежит ли эта точка третьей прямой:

$$ 3x+y=4, $$
$$ 3\cdot 1+1=4. $$

Равенство верно, значит, точка $$A(1;1)$$ лежит и на третьей прямой.

Следовательно, все три прямые пересекаются в одной точке $$A(1;1)$$.

Ответ

Прямые пересекаются в одной точке $$A(1;1)$$.