Упр.3.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если у треугольников сторона, медиана, проведенная к этой
стороне, и угол, образованный этой стороной и медианой, равны, то
такие треугольники равны;
Доказательство:
1) Пусть ABC и A1 B1 C1-данные треугольники, у которых AC=A1 C1,
BM=B1 M1 и угол BMA = углу B1 M1 A1;
2) AM=1/2 AC=1/2 A1 C1=A1 M1 (так как AM и A1 M1-медианы);
3) Углы BMC и B1 M1 C1 равны как смежные углы равных углов (по
теореме о сумме смежных углов);
4) треугольник ABM=треугольник A1 B1 M1 по первому признаку, отсюда AB=A1 B1;
5) треугольник BMC=треугольник B1 M1 C1 по первому признаку, отсюда BC=B1 C1;
6) Треугольники ABC и A1 B1 C1 равны по третьему признаку, что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — данные треугольники, причём $$AC=A_1C_1$$, $$BM=B_1M_1$$ и $$\angle BMA=\angle B_1M_1A_1$$.

Так как $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы, то

$$AM=\frac{1}{2}AC,\qquad A_1M_1=\frac{1}{2}A_1C_1.$$

Из равенства $$AC=A_1C_1$$ получаем

$$AM=A_1M_1.$$

Углы $$\angle BMC$$ и $$\angle B_1M_1C_1$$ равны как смежные с равными углами $$\angle BMA$$ и $$\angle B_1M_1A_1$$.

Тогда треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ равны по первому признаку:

$$BM=B_1M_1,\quad AM=A_1M_1,\quad \angle BMA=\angle B_1M_1A_1.$$

Следовательно,

$$AB=A_1B_1.$$

Аналогично треугольники $$BMC$$ и $$B_1M_1C_1$$ равны по первому признаку: