Упр.9.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- По одну сторону от железной дороги расположены два населённых пункта. В каком месте следует построить железнодорожную платформу данной длины, чтобы сумма расстояний от неё до населённых пунктов была наименьшей? (Два случая.)
Пусть $$M_1M_2$$ — длина платформы, а $$A’$$ и $$B’$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $$A$$ и $$B$$ на железную дорогу.
Рассмотрим два случая.
1. Если $$M_1M_2<A’B’$$
Построим точку $$A_1$$ так, чтобы $$AA_1\parallel M_1M_2$$ и $$AA_1=M_1M_2$$, а на продолжении перпендикуляра $$BB’$$ отложим $$B’B_1=B’B$$. Тогда четырехугольник $$AA_1M_2M_1$$ — параллелограмм, значит
$$A_1M_2=AM_1.$$
Кроме того, треугольник $$BB_1M_2$$ равнобедренный, поэтому
$$B_1M_2=M_2B.$$
Тогда
$$AM_1+M_2B=A_1M_2+B_1M_2=A_1B_1.$$
Следовательно, сумма расстояний $$AM_1+M_2B$$ будет наименьшей тогда и только тогда, когда точки $$M_1$$ и $$M_2$$ расположены так, как на построении: отрезок платформы должен быть параллелен железной дороге, а его концы выбираются по построению через точки $$A_1$$ и $$B_1$$.
2. Если $$M_1M_2\ge A’B’$$
В этом случае платформу следует расположить так, чтобы отрезок $$A’B’$$ целиком лежал внутри отрезка $$M_1M_2$$. Тогда расстояние от точки $$A$$ до платформы равно $$AA’$$, а расстояние от точки $$B$$ до платформы равно $$BB’$$.
Так как кратчайшее расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр, то именно при таком расположении платформы сумма расстояний будет наименьшей.
Итак, если длина платформы меньше $$A’B’$$, её нужно расположить по построению из первого случая; если же длина платформы не меньше $$A’B’$$, то достаточно расположить её так, чтобы отрезок $$A’B’$$ лежал внутри платформы.
