Упр.8.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите точку пересечения прямых, заданных уравнениями:

1. 1) $$x+2y+3=0,\quad 4x+by+6=0$$;
   2) $$3x-y-2=0,\quad 2x+y-8=0$$;
   3) $$4x+5y+8=0,\quad 4x-2y-6=0$$.

Точка пересечения двух прямых принадлежит обеим прямым, значит её координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы.

1. Для прямых $$x+2y+3=0$$ и $$4x+5y+6=0$$:

   Из первого уравнения выразим $$x$$:

   $$x=-3-2y.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$4(-3-2y)+5y+6=0,$$

   $$-12-8y+5y+6=0,$$

   $$-3y-6=0,$$

   $$-3y=6,\quad y=-2.$$

   Тогда

   $$x=-3-2\cdot(-2)=1.$$

   Ответ: $$\left(1;\,-2\right).$$

2. Для прямых $$3x-y-2=0$$ и $$2x+y-8=0$$:

   Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$y=8-2x.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$3x-(8-2x)-2=0,$$

   $$3x-8+2x-2=0,$$

   $$5x-10=0,$$

   $$5x=10,\quad x=2.$$

   Тогда

   $$y=8-2\cdot2=4.$$

   Ответ: $$\left(2;\,4\right).$$

3. Для прямых $$4x+5y+8=0$$ и $$4x-2y-6=0$$:

   Из второго уравнения получим:

   $$4x-2y-6=0,\quad 2x-y-3=0,$$

   $$y=2x-3.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$4x+5(2x-3)+8=0,$$

   $$4x+10x-15+8=0,$$

   $$14x-7=0,$$

   $$14x=7,\quad x=\frac12.$$

   Тогда

   $$y=2\cdot\frac12-3=1-3=-2.$$

   Ответ: $$\left(\frac12;\,-2\right).$$