Упр.14.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь
четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на
синус угла между ними;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный четырехугольник и O-точка пересечения его
диагоналей;
2) Примем острый угол между диагоналями AC и BD равным альфа:
угол DOC=угол AOB=альфа (вертикальные углы);
3) На сторону AC опустим высоту BE треугольника ABC;
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник BOE:
sin?угол AOB=BE/OB, отсюда BE=OB•sin угла AOB= BO•sinальфа;
5) На сторону AC опустим высоту DF треугольника ADC;
6) Рассмотрим прямоугольный треугольник DOF:
sin?угол DOC=DF/OD, отсюда DF=OD•sin угла DOC=OD•sin?альфа;
7) Площадь данного четырехугольника ABCD равна сумме площадей
треугольников ABC и ADC: S=SABC+SADC;
S=1/2 AC•BE+1/2 AC•DF=1/2 AC•BO•sinальфа+1/2 AC•DO•sinальфа=
=1/2 AC•(BO+OD)•sinальфа=1/2 AC•BD•sinальфа,
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Обозначим острый угол между диагоналями через $$\alpha$$, тогда $$\angle AOB=\angle DOC=\alpha$$ как вертикальные углы.

Опустим из точки $$B$$ высоту $$BE$$ на прямую $$AC$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$BOE$$

$$\sin \angle AOB=\frac{BE}{OB}, \qquad BE=OB\sin \alpha.$$

Аналогично опустим из точки $$D$$ высоту $$DF$$ на прямую $$AC$$. В прямоугольном треугольнике $$DOF$$

$$\sin \angle DOC=\frac{DF}{OD}, \qquad DF=OD\sin \alpha.$$

Площадь четырёхугольника равна сумме площадей треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$:

$$ S=S_{ABC}+S_{ADC} =\frac{1}{2}AC\cdot BE+\frac{1}{2}AC\cdot DF. $$

Подставим найденные выражения для $$BE$$ и $$DF$$:

$$ S=\frac{1}{2}AC\cdot OB\sin \alpha+\frac{1}{2}AC\cdot OD\sin \alpha =\frac{1}{2}AC\,(OB+OD)\sin \alpha. $$

Так как $$OB+OD=BD$$, получаем

$$ S=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin \alpha. $$

Что и требовалось доказать.