Упр.11.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: у прямоугольного треугольника основание высоты, опущенной
на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см;
Найти: стороны треугольника;
Решение:
1) Пусть ABC-данный прямоугольный треугольник, у которого:
угол C-прямой; CD-высота; AD=16 см и DB=9 см;
2) Гипотенуза треугольника равна: AB=AD+DB=16+9=25 см;
3) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное
между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный треугольник, где $$\angle C=90^\circ$$, $$CD$$ — высота, опущенная на гипотенузу $$AB$$, причём $$AD=16\text{ см}$$ и $$DB=9\text{ см}$$.

Тогда гипотенуза равна:

$$AB=AD+DB=16+9=25\text{ см}.$$

По свойству прямоугольного треугольника катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

$$BC^2=AB\cdot DB,$$

$$BC=\sqrt{25\cdot 9}=\sqrt{225}=15\text{ см}.$$

Аналогично:

$$AC^2=AB\cdot AD,$$

$$AC=\sqrt{25\cdot 16}=\sqrt{400}=20\text{ см}.$$

Следовательно, стороны треугольника равны $$15\text{ см}$$, $$20\text{ см}$$ и $$25\text{ см}$$.