Упр.6.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он является квадратом.

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$ и перпендикулярны: $$AC \perp BD$$.

В прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$. У них по два катета попарно равны:

$$AO=OC,\qquad BO=OD,$$

а также все они прямоугольные, так как диагонали перпендикулярны. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам. Тогда их гипотенузы равны:

$$AB=BC=CD=DA.$$

Итак, у прямоугольника $$ABCD$$ все стороны равны, значит, он является квадратом.

Ответ

Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то этот прямоугольник — квадрат.