Упр.3.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углам, образованным с ней медианой.

Пусть $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — данные треугольники, у которых $$AC=A_1C_1$$, $$BM=B_1M_1$$ и $$\angle BMA=\angle B_1M_1A_1$$.

Так как $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы, то

$$AM=\frac12 AC,\qquad A_1M_1=\frac12 A_1C_1.$$

Из равенства $$AC=A_1C_1$$ получаем

$$AM=A_1M_1.$$

Углы $$\angle BMC$$ и $$\angle B_1M_1C_1$$ равны как смежные с равными углами $$\angle BMA$$ и $$\angle B_1M_1A_1$$.

Тогда треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AM=A_1M_1,\quad BM=B_1M_1,\quad \angle BMA=\angle B_1M_1A_1.$$

Следовательно, $$AB=A_1B_1$$.

Аналогично треугольники $$BMC$$ и $$B_1M_1C_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$BM=B_1M_1,\quad MC=M_1C_1,\quad \angle BMC=\angle B_1M_1C_1.$$

Отсюда $$BC=B_1C_1$$.

Итак, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны все три стороны:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по третьему признаку равенства треугольников.