Упр.14.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются, то площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Обозначим острый угол между диагоналями $$AC$$ и $$BD$$ через $$\alpha$$. Тогда $$\angle AOB=\angle DOC=\alpha$$ как вертикальные углы.

Опустим из точки $$B$$ высоту $$BE$$ на прямую $$AC$$, а из точки $$D$$ — высоту $$DF$$ на прямую $$AC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOE$$. Тогда

$$\sin \angle AOB=\frac{BE}{OB},$$

откуда

$$BE=OB\cdot \sin \alpha.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$DOF$$ имеем

$$\sin \angle DOC=\frac{DF}{OD},$$

следовательно,

$$DF=OD\cdot \sin \alpha.$$

Теперь найдём площадь четырёхугольника как сумму площадей треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$:

$$S=S_{ABC}+S_{ADC} =\frac12 AC\cdot BE+\frac12 AC\cdot DF.$$

Подставим найденные выражения для высот:

$$S=\frac12 AC\cdot OB\sin\alpha+\frac12 AC\cdot OD\sin\alpha =\frac12 AC\,(OB+OD)\sin\alpha.$$

Так как $$OB+OD=BD$$, то

$$S=\frac12 AC\cdot BD\cdot \sin\alpha.$$

Итак, площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.