Упр.7.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1) 0 < (c2+a2-b2)/2c < а; 2) существует прямоугольный треугольник BCD, у которого гипотенуза ВС = а, а катет BD = (с +а2-b2)/2c (рис. 167); 3) треугольник ABC, у которого ВС = а,АВ = с, а расстояние BD равно (c2+a2-b2)/2c, имеет сторону АС = b (см. рис. 167).

Обозначим

$$x=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}.$$

1) Докажем, что $$0<x<a.$$

Из условия $$c<a+b$$, значит $$c-a<b.$$ Так как все числа положительны, то

$$ (c-a)^2<b^2. $$

Раскрывая скобки, получаем

$$c^2-2ac+a^2<b^2,$$

откуда

$$c^2+a^2-b^2<2ac.$$

Так как $$2c>0$$, делим на $$2c$$:

$$x<a.$$

С другой стороны, из $$c\ge b$$ следует $$c^2-b^2\ge 0$$, а значит

$$c^2+a^2-b^2>0,$$

следовательно,

$$x>0.$$

Итак, $$0<\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2c}<a.$$

2) Так как $$0<x<a$$, то можно построить прямоугольный треугольник $$BCD$$ с гипотенузой $$BC=a$$ и катетом

$$BD=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}.$$

Такой треугольник существует, поскольку катет меньше гипотенузы.

3) Рассмотрим треугольник $$ABC$$, в котором $$BC=a$$, $$AB=c$$, а точка $$D$$ лежит на стороне $$AB$$ и $$BD=x$$.

Тогда

$$AD=AB-BD=c-\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}=\frac{c^2-a^2+b^2}{2c}.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$BDC$$:

$$CD^2=BC^2-BD^2=a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\right)^2.$$

Теперь по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ADC$$:

$$ AC^2=AD^2+CD^2 =\left(c-\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\right)^2+a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\right)^2. $$

После упрощения получаем

$$AC^2=b^2,$$

значит

$$AC=b.$$

Ответ

$$0<\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}<a,$$ существует прямоугольный треугольник $$BCD$$ с $$BC=a$$ и $$BD=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c},$$ а в треугольнике $$ABC$$ получается $$AC=b.$$