Упр.13.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите отношение периметра правильного вписанного восьмиугольника к диаметру окружности и сравните его с приближённым значением n.

Пусть $$R$$ — радиус окружности, а $$a_8$$ — сторона правильного восьмиугольника.

Для правильного вписанного восьмиугольника

$$a_8=R\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$

Тогда его периметр равен

$$P=8a_8=8R\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$

Диаметр окружности $$d=2R$$, значит

$$\frac{P}{d}=\frac{8R\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2R}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$

Вычислим приближённо:

$$\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx \sqrt{2-1{,}414}=\sqrt{0{,}586}\approx 0{,}765,$$

поэтому

$$\frac{P}{d}\approx 4\cdot 0{,}765\approx 3{,}06.$$

Сравним с числом $$\pi\approx 3{,}14$$: полученное отношение меньше $$\pi$$.

Ответ: $$\frac{P}{d}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx 3{,}06,$$ это меньше $$\pi$$.