Упр.11.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит её на отрезки $$9\ \text{см}$$ и $$16\ \text{см}$$. Найдите стороны треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный треугольник, где $$\angle C=90^\circ$$, $$CD$$ — высота, опущенная на гипотенузу $$AB$$, причём $$AD=16$$ см, $$DB=9$$ см.

Тогда гипотенуза равна:

$$AB=AD+DB=16+9=25\text{ см}.$$

По свойству прямоугольного треугольника катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

$$BC^2=AB\cdot DB,$$

$$BC=\sqrt{25\cdot 9}=\sqrt{225}=15\text{ см}.$$

Аналогично:

$$AC^2=AB\cdot AD,$$

$$AC=\sqrt{25\cdot 16}=\sqrt{400}=20\text{ см}.$$

Следовательно, стороны треугольника равны $$15$$ см, $$20$$ см и $$25$$ см.

Ответ: $$15\text{ см},\ 20\text{ см},\ 25\text{ см}.$$