Упр.15.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: прямые AB и CD скрещивающиеся;
Доказать: прямые AC и BD также скрещивающиеся;
Доказательство:
1) Допустим, что прямые AC и BD не скрещивающиеся, тогда они либо
пересекаются, либо параллельны, в любом случае эти прямые будут
лежать в одной плоскости, значит принадлежащие им точки A, C, B и D
также будут лежать в одной плоскости, обозначим ее как плоскость Альфа;
2) Точки A и B принадлежат плоскости Альфа, значит согласно теореме 15.2
прямая AB принадлежит плоскости Альфа;
3) Точки C и D принадлежат плоскости Альфа, значит согласно теореме 15.2
прямая CD принадлежит плоскости Альфа;
4) Таким образом, прямые AB и CD принадлежат одной плоскости, но
тогда они не являются скрещивающимися, что противоречит условию
задачи, следовательно наше предположение неверно и прямые AC и BD
скрещивающиеся, что и требовалось доказать;

Подробный ответ

Предположим противное: прямые $$AC$$ и $$BD$$ не скрещиваются. Тогда они либо пересекаются, либо параллельны. В обоих случаях эти прямые лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость через $$\alpha$$.

Так как точки $$A$$ и $$B$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, то по теореме о прямой, проходящей через две точки плоскости, прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$\alpha$$.

Аналогично, точки $$C$$ и $$D$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, значит прямая $$CD$$ также лежит в плоскости $$\alpha$$.

Получается, что прямые $$AB$$ и $$CD$$ лежат в одной плоскости. Но тогда они не могут быть скрещивающимися, что противоречит условию.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $$AC$$ и $$BD$$ скрещиваются.