Упр.6.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $$5\ \text{м}$$. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, где $$AB=BC=5\text{ м}$$. Через точку $$D$$ на основании $$AC$$ проведены прямые $$DE \parallel BC$$ и $$DF \parallel AB$$, поэтому четырёхугольник $$DEBF$$ — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники $$AED$$ и $$ABC$$.

Углы $$AED$$ и $$ABC$$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$ED$$ и $$BC$$ и секущей $$AB$$. Аналогично, $$\angle EDA = \angle BCA$$.

Значит, треугольники $$AED$$ и $$ABC$$ подобны. Но $$ABC$$ — равнобедренный, так как $$AB=BC$$, следовательно, $$AED$$ тоже равнобедренный, и потому

$$AE=ED.$$

В параллелограмме $$DEBF$$ противоположные стороны равны, значит

$$BF=DE,\qquad FD=EB.$$

Тогда периметр параллелограмма равен

$$P_{DEBF}=DE+EB+BF+FD=2(DE+EB).$$

Так как $$AE=ED$$ и $$AE+EB=AB$$, то

$$AE+EB=AB=5\text{ м}.$$

Следовательно,

$$DE+EB=5\text{ м},$$

и потому

$$P_{DEBF}=2\cdot 5=10\text{ м}.$$

Ответ: $$10\text{ м}$$.