Вопрос 4 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а $$O$$ — центр окружности, описанной около него.

Тогда $$OA=OC$$ как радиусы одной окружности, значит треугольник $$AOC$$ равнобедренный.

Пусть $$D$$ — середина стороны $$AC$$. Тогда отрезок $$OD$$ является медианой треугольника $$AOC$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно высотой, поэтому

$$OD\perp AC.$$

Следовательно, точка $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $$AC$$.

Аналогично доказывается, что $$O$$ лежит на серединных перпендикулярах к сторонам $$AB$$ и $$BC$$.

Значит, центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.