Вопрос 4 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из
катетов;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный прямоугольный треугольник с прямым углом C;
2) Согласно теореме Пифагора: AB^2=AC^2+BC^2, отсюда следует, что
квадраты катетов меньше квадрата гипотенузы;
3) Все стороны треугольника имеют длину, большую нуля:
— AB^2 > AC^2, значит AB > AC;
— AB^2 > BC^2, значит AB > BC;

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$. Тогда $$AB$$ — гипотенуза, а $$AC$$ и $$BC$$ — катеты.

По теореме Пифагора:

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Так как $$AC^2>0$$ и $$BC^2>0$$, то

$$AB^2>AC^2,\qquad AB^2>BC^2.$$

Поскольку все стороны треугольника положительны, из неравенств для квадратов получаем:

$$AB>AC,\qquad AB>BC.$$

Следовательно, гипотенуза больше любого из катетов.